巧作变式，提升学生数学解题能力

泉州第十一中学      黄祥嘉

发表于《高考》统一刊号CN22 1372/G4  2019年12月

摘要：变式解题是高中数学解题过程中重要的解题方式之一，通过对习题的深入解读，根据相关的定理以及公式等内容对原问题做出相应的转变，以方便解题计算。变式解题对提高学生思维逻辑能力以及数学发散性思维具有重要的促进作用。本文立足高中数学教学实践，首先对变式解题的概念及其重要性进行了简要的叙述，并结合教学实践，就数学解题能力培养过程中变式问题的应用进行了分析，旨在分享教学经验，促进学生数学解题能力的提升。

关键词：高中数学；变式解题；能力培养

引言：数学学科解题训练是高中数学教学的重要组成部分，它主要以培养学生发散性思维以及数学逻辑推理能力为主要教学任务。高中数学随着学习进度的不断深入学习难度以及解题难度都在逐渐的增加，对学生的解题能力有了更好层次的要求。为了能够有效提升学生在解题中的能力，教师必须根据教学内容以及习题类型科学的引导学生进行锻炼与实践，以提升学生解决问题的能力，变式训练就是培养学生数学解题能力的一种重要方式。

一、变式的概念及其重要性分析

在高中数学解题实践中通常会将数学问题分成三大类，即标准类型、变式类型以及探究类型。这三种数学问题形式在逻辑上具有层层递进的关系。其中标准类型数学问题是数学解题过程中最基本的知识内容表现形式，主要侧重对学生基础知识的考察；变式类型的数学题目是在标准数学问题的基础上更深一步的演化和延伸，解决这类问题必须以基础知识为本，进而进行思维的发散和延伸，侧重对学生知识深化和灵活应用能力的考察；探究型问题则是以上两种题型的结合，侧重对学生思维发散与拓展能力的考核。高中数学解题过程中的变式就是在基础知识的熟练掌握情况下，根据数学定理以及相关的问题条件，对已知问题进行的转换，旨在帮助学生更好的理解问题，提高解题能力，促进学生数学学习的深化与提升。

通过解题变式，可以有效帮助学生拓宽解题思路。学生在解决数学问题的过程中需要以数学公式及定律为基础，对于简单的问题可以进行公式的套用进行解析，相对复杂的题目类型则需要对原有公式以及定理进行转换，以原题类型为基础，通过反复研读已知条件，并结合变式解析，深挖问题中所蕴含的信息，从而达到解决问题的目的。通过变式解题的应用可以使学生在解决问题的过程中发现隐含的条件信息，透过问题表象深入问题本质。

二、习题变式在培养学生解题能力中的应用

在培养学生解题能力的实践活动中，，通常会通过在原主干问题上设置干扰因素来迷惑学生，这类问题的本质并没有发生变化，只是在表达方式上发生了变化，其中数学问题的干扰形式主要有以下几种：

1、数学问题本质不变的情况下，改变原有表达方式。这一类型的数学问题就是在不改变原有问题本质的前提下对某些表达方式进行改变，误导学生思维方向。例如，已知两定点A（-6,0）、B（2,0），若动点P（x，y）与点A、B所构成的∠APB恒为直角，，求点P的轨迹方程。根据以上题目内容信息，在解题是可以进行以下两种方式的变式：

（1）已知点A（-6,0）在直线L1上，点B（2,0）在直线L2上，且两直线互相垂直于点P，求点P的运动轨迹。

（2）已知点A、B坐标为（-6,0）、（2，0），点P与A、B形成的直线互相垂直，求点P的轨迹方程式。

从以上两个问题的变式中不难发现，原题的知识背景没有改变，但是在表述方式上却不一样，在解题过程中只要学生能够透过表象深入本质，抓住问题的主要内容，那么问题就能够迎刃而解，这种形式的变式能够有效帮助学生提高数学解题的思维能力，实现各知识点内容之间的统一联系。

2、题设不变，问题改变。这种类型的数学问题通过改变原有问题的形式，实现变式，改变原有题目训练的目的，促进学生解题能力的迁徙延伸。例如，在椭圆上有一点P，使它与两个焦点的连线相互垂直。

变式：椭圆的两个焦点分别是F1和F2，点P是椭圆上一动点，求当F1、P、F2三点形成的角为钝角时，点P的横坐标范围。

在这个问题的变式中就是以原题为基础，对其进行拓展延伸，以更好的激发学生的发散性思维，增加学生探究学习的积极性。这类题型的变式必须以原题目为基础，通过将其进行延伸演化，拓展原题的知识点层次，引导学生在解题的过程中能够实现知识的迁徙和拓展，从而有效提高学生在解决数学问题时的思维能力和探究能力，全面提升学生数学解题能力。

3、题设与问题都进行改变。原题：假设椭圆上有一点P。是他有两个焦点的连线相互垂直。

变式：在双曲线上的两个焦点分别为F1和F2，，点P在双曲线上，且PF1垂直于PF2，求点P到X轴的距离。

该类型的数学问题变式是在原题的基础上进行拓展，从不同角度出发，设置问题，以促进学生在数学解题过程中发散性思维的应用。通过对基础问题的熟练掌握，在原题的基础上进行拓展延伸，引导学生在解题的过程中充分调动各基础知识点的灵活应用能力，从而通过日常的解题训练，逐步提高学生应用解题能力，促进学生数学思维的良好发展。

总结：在高中数学解题训练中教师要善于发现数学问题中所包含的知识点内容，通过以原题为基础进行适当的变式训练，培养学生在解决问题过程中的发散性思维，突破传统解题线性思维的束缚，在面对数学问题时能够从不同角度出发进行分析，透过问题表面，深入问题本质，从而准确的把握问题关键点，提高数学问题分析及解决的能力。

参考资料：

【1】于真灵. 巧妙变式 培养解题能力[J]. 湖南教育(C版), 2017(8):53-54.

【2】李丽泉. 变式教学在高中数学教学中的有效性研究[D]. 2016.