在三角函数教学中提高课堂教学的有效性

泉州第十一中学：黄祥嘉

发表于《课程教育研究》统一刊号CN15 1362/G4  2018年4月

三角函数具有公式多、思想丰富、变化灵活、渗透性强等特点，是描述周期现象的重要数学模型，在教学和其他领域中具有重要的作用。可是目前学生在对三角函数的学习过程中存在着一些令人担忧的问题

1．对三角函数的所有概念模糊，理解不到位，从而在推理解答中无法形成正确的分析问题和解决问题的基本思维。部分学生仍停留在直角三角形中的各类推导，但是到了非直角三角形中却对推导过程较为模糊，最后计算时只记结论性的知识，模糊了总结性的知识点，从而在做题时就容易忘记。常常出现部分学生：“老师讲的时候听得明白，上课也认真做了笔记，但到自己做题时还是不会正确分析，找不到突破口，十分苦恼” 。所以必须要清楚它的所有推导过程，不仅仅是结论，这样的话，学生们对于基本知识点才能够详细的理解，在记忆时也可以通过详细的例题自主的记忆住基础概念的核心，从而在做题时可以有效地应用，不再出现基础概念易混淆的问题，也使得自己的推理程度提高．

　　2．只了解三角函数的原形，不能够对其变形进行准确地记忆与推导，在三角函数中不仅仅有函数的原形公式，还有以三角函数为基础进而推导的诱导公式，而基本公式则包括和差角公式、和差化积、积化和差、倍角公式以及辅助角公式等等，往往学生们学习时遇到这些公式便会产生抵触与厌学的心理，感觉学习内容太过复杂，背诵的知识也过多，使得自身的学习积极性便降低，最终学生们仅仅能够记忆原形公式而忽略了推导公式，但是在考试时往往考查的重点是推导之后的公式，而很少仅仅考查原形，所以学生们的成绩便因此而降低，也就导致学生对三角函数的学习效率下降．

　　3．只是简单记忆三角函数的图像，不能理解三角函数图像形成的原理，故而不能很好的使用图像理解和记忆三角函数的有关性质，并利用图像解决有关问题。，往往由于时间的局限性而不能使得每个学生的问题都及时的解决，教师可能会根据平常考试考查的重点难点进行详细的讲解，并重点强调，但是忽略了学生们对于重点难点之前的基础内容还没有及时的吸收，导致学生们在听课时出现听不懂、不理解的现象，所以使得学生对三角函数的学习产生抵触情绪，最终影响了整个数学的成绩与学习效率．因此，教师的教学方法直接影响了学习的学习效果．

为改善这种现状，教师应从根本上改变学生对三角函数的认识，从各方面提高三角函数课堂教学的有效性。使学生充分理解掌握三角函数的本质，体会三角函数的变化特点，掌握三角函数的主要题型和考察方向，让学生知其意，会其法，熟其式。

1、 明确三角函数的有关定义，使学生在三角函数的有关定义中审视三角函数的相关公式。

例如任意角的定义，应引导学生理解“一条射线绕着其端点旋转，起始位置与终止位置所组成的图形”，并对规定加以明晰的解释，逆时针旋转为正角，顺时针旋转为负角，不转动为零角。使学生理解角是通过旋转产生的，旋转方向决定角的正负性，从而帮助学生加深角的终边对角的决定作用，同时可以引导学生在图形中理解α+90^0,，α-90⁰，180⁰-α等终边位置，这样有效地提升学生对角的理解，也为今后讲授诱导公式中的象限位置的判断奠定基础，帮助学生奠定了终边在角的定义中的认识，对于象限角的划分起到了自然的过度与认识作用。

再比如三角函数的定义“α角终边上任意一点（除原点）P的横坐标、纵坐标及该点与原点的距离，三者之间两两的比值，即规定sinα=y/R,  cosα=x/R  tanα=y/x,并结合图形帮助学生加强对三角函数概念的理解，此时即可利用x²+y²=R²引入正弦、余弦、正切之间的等量关系即同角三角函数的基本关系，从而达到有效教学的目的

2、一题多解拓展学生思维的多样性，从而帮助学生更好地掌握三角函数的有关公式。三角函数公式众多，每个公式之间都存在一定的联系，使用公式的出发点不同就会产生不同的解法，学生在解题中往往感觉学生彼此之间的解题方法不同，通过一题多解，多角度的分析，也可以帮助学生深入认识三角函数的多变性与灵活性，激发学生探索三角函数的兴趣，达到热爱学习，主动学习的有效目的。

例如：已知函数（其中为正常数，）的最小正周期为．（1）求的值；本题学生往往采用正弦的和差角公式进行打开、整理、化简，常常感觉繁杂并容易产生错误，所以此时教师应给予学生使用常规方法解题的时间，并产生有效的体会与感触后，引导学生使用cos（α-β）- cos（α+β）=2sinα•sinβ,使学生体会到三角函数公式使用的灵活性与多变性，并总结相关的公式特点，适当的将问题变式例如求函数在[-,   ]上的值域。加深印象与深化理解，帮助学生多角度的使用三角函数公式。

3、深入理解三角函数与函数融为一体，掌握三角函数的图像形成，从而加深对三角函数性质的认识。但是学生只能简单的记忆y=sinx或y=cosx的图像，一旦进入y=Asin（ωx+ϕ）的图像理解时，感觉图像不知道如何入手。所以本人认为讲好五点作图法对三角函数图像的做法具有十分重要的作用。引导学生观察发现y=Asin（ωx+ϕ）的三个参量A，ω、ϕ在图像中的意义与作用，A决定高度，并与│A│成正比，即│A│的值越大函数图像越高，ω决定宽度即周期T= 2π/ω，并成反比，即ω越大周期越小一个周期的宽度越窄，ϕ是初相，涉及第一个点的位置- ϕ/ω ，与相位平移有关。

例如在做y=2sin(2x+)图像时，教师往往采用五点作图法画图像，可学生使用五点作图时感到复杂，甚至不知如何取点，这时可以利用第一个点的位置- ϕ/ω及周期T= 2π/ω就可以迅速的确定五点，如本题第一个点即为-π/6,周期为π，所以末点为-π/6+π=5π/6,其余各点分别利用中点公式得到，分别为π/3, π/12, 7π/12.这样得到了y=2sin(2x+)图像，从而对本题需要解决的单调性，值域等问题即可轻松解答。此时对于由函数图像求函数解析式的问题就容易多了.

例如：已知，，函数的部分图象如图所示．为了得到函数的图象，只要将的图象

A．向右平移个单位长度     B．向右平移个单位长度

C．向左平移个单位长度     D．向左平移个单位长

本题通过图像可知T/4=(5π/8-3π/8)= π/4,所以T=π,即ω=2，并利用周期特点确定第一个点为3π/8-π/2=-π/8,根据- ϕ/ω=-π/8，所以得到ϕ=π/4，即可知函数解析式为f(x)=sin(2x+π/4),g(x)=sin2x,所以答案选B

4、强化训练帮助学生自我总结三角函数的类型模型，从而形成良好地解题结构。

通过相似类型的问题的解答，引导学生深入的认识三角函数的主要变化，主要方法，主要考察的形式。

例如：问题1

已知函数

（1）求的最小正周期；

（2）求在区间上的取值范围.

先以简单的利用降幂公式以及辅助角公式进行化简，然后通过画图法即可解决，再给出问题2

已知：为常数）

（1）若，求的最小正周期；

（2）若在[上最大值与最小值之和为3，求的值.

其实本题与上一问题的差别仅是利用图像解决最大与最小的位置，

最后问题3

已知函数

（1）求函数的对称轴方程；

（2）当时，若函数有零点，求m的范围；

升华到部分函数图像的零点求参量m的范围问题。

这样的层层递进，使学生充分感受三角函数问题的统一性，即如何更好的化简函数，如何快速有效的做出三角函数图像是解决三角函数问题的根本。从而达到有效教学的目的。    

    有效教学的根本即使学生明确知识学习的目的，知其源，明其向，熟其法，善其变。教师在三角函数的教学中其实就是帮助学生简单有效的认识三角函数的这些变化。